Bok kwadratowej działki a = 100,00 m zmierzono z błędem średnim ma = ±5 cm. Ile wynosi wartość błędu średniego mP obliczenia pola P działki?
A. mP = ±10 m2
B. mP = ±20 m2
C. mP = ±1 m2
D. mP = ±5 m2
W tym zadaniu kluczowe jest zastosowanie prawa przenoszenia błędów średnich, czyli tego, co w opracowaniu wyników pomiarów robi się praktycznie cały czas. Pole kwadratu obliczamy ze wzoru $P=a^2$. Jeżeli bok a został zmierzony z błędem średnim mₐ, to błąd średni pola liczymy przez pochodną funkcji pola względem mierzonej wielkości: $m_P=\left|\frac{dP}{da}\right|\cdot m_a=2a\cdot m_a$. Trzeba jeszcze uważać na jednostki, bo 5 cm to 0,05 m. Podstawiamy więc: 2 × 100,00 m × 0,05 m = 10 m². Dlatego mₚ = ±10 m². Moim zdaniem najczęstsza pułapka tutaj to zostawienie centymetrów bez przeliczenia albo potraktowanie błędu pola tak, jakby był równy błędowi długości. W geodezji to ważna sprawa, bo przy obliczaniu powierzchni działek, użytków czy konturów klasyfikacyjnych wynik musi mieć sens nie tylko liczbowy, ale też jednostkowy. Dobra praktyka branżowa jest taka: najpierw zapisujemy funkcję, potem liczymy współczynnik wpływu, a dopiero na końcu podstawiamy dane w jednolitych jednostkach.
Jeżeli wyszedł inny wynik niż ±10 m², to najpewniej problem leży w sposobie przenoszenia błędu z długości boku na pole. Pole kwadratu nie zależy od boku liniowo, tylko według zależności $P=a^2$, więc błąd pola nie może być po prostu równy błędowi długości ani nie można go wpisać jako 5 m² tylko dlatego, że w danych występuje 5 cm. To są różne wielkości fizyczne: długość ma jednostkę metra, a powierzchnia metra kwadratowego. Z mojego doświadczenia uczniowie czasem mylą też błąd samego boku z błędem obwodu albo z błędem względnym. Wynik ±20 m² mógłby się pojawić, gdy ktoś błędnie podwoi wpływ obu boków tak, jakby były niezależnie mierzone osobno i każdy wnosił pełny, oddzielny błąd. W tym zadaniu mamy jednak bok kwadratu a jako jedną zmierzoną wielkość, a pole jest funkcją tej jednej zmiennej. Z kolei wynik ±1 m² zwykle bierze się z niepoprawnego przeliczenia centymetrów na metry albo z pominięcia pochodnej 2a. Poprawna metoda to klasyczne prawo propagacji błędów średnich: najpierw ustalamy zależność obliczanej wielkości od pomiaru, potem wyznaczamy współczynnik wpływu, czyli pochodną, i dopiero podstawiamy wartości. Tutaj 5 cm = 0,05 m, a $m_P=2a\cdot m_a$, więc 2 × 100,00 × 0,05 daje 10 m². Taka kontrola jednostek naprawdę ratuje wynik, szczególnie przy obliczaniu powierzchni działek w dokumentacji geodezyjnej.