Który wzór należy zastosować do obliczenia wysokości punktu 1, jeżeli pomiary wykonano ze stanowiska S metodą przedstawioną na rysunku?
W tym zadaniu kluczowe jest rozpoznanie, że kąt $z_A$ jest kątem zenitalnym, czyli liczonym od kierunku pionowego, a nie kątem nachylenia od poziomu. Dlatego przy obliczaniu przewyższenia z odległości poziomej $d_{S-1}$ stosuje się cotangens: $\Delta h = d_{S-1} \cdot \operatorname{ctg} z_A$. Wysokość osi celowej instrumentu znajduje się wyżej niż punkt stanowiska S o wysokość instrumentu $i$, więc najpierw trzeba przejść z wysokości punktu stanowiska na wysokość osi lunety: $H_S + i$. Dopiero od tej wysokości dodaje się przewyższenie wynikające z obserwacji pionowej. Stąd wzór ma postać $H_1 = H_S + i + d_{S-1} \cdot \operatorname{ctg} z_A$. Moim zdaniem to jest jeden z tych wzorów, które warto rozumieć geometrycznie, a nie tylko pamiętać. W praktyce, przy pomiarach tachimetrycznych, taki zapis pojawia się przy wyznaczaniu wysokości pikiet, narożników budynku, punktów terenowych albo elementów konstrukcyjnych, gdy znamy wysokość stanowiska i mierzymy kierunek pionowy oraz odległość poziomą. Dobra praktyka geodezyjna mówi też, żeby zawsze sprawdzać, czy używamy kąta zenitalnego czy kąta pochylenia, bo pomyłka między tg i ctg daje całkiem inną wysokość, czasem bardzo dużą różnicę. Gdyby w zadaniu występowała jeszcze wysokość lustra lub tyczki, należałoby ją dodatkowo uwzględnić, zwykle przez odjęcie, ale w podanych odpowiedziach jej nie ma, więc analizujemy układ dokładnie taki jak na rysunku.
Najczęstszy problem w tym zadaniu wynika z pomieszania dwóch różnych sposobów opisu kąta pionowego. Jeżeli kąt jest kątem zenitalnym $z_A$, to liczymy go od pionu, czyli od zenitu. Wtedy zależność między przewyższeniem a odległością poziomą opiera się na cotangensie: $\Delta h = d_{S-1} \cdot \operatorname{ctg} z_A$. Tangens byłby właściwy wtedy, gdyby podany był kąt nachylenia celowej do poziomu, często oznaczany jako $\alpha$. Wtedy rzeczywiście można by pisać $\Delta h = d \cdot \operatorname{tg} \alpha$, ale to nie jest ta sama sytuacja. Warto zapamiętać prostą zależność: $\alpha = 90^\circ - z$, więc $\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{ctg}z$. Z mojego doświadczenia właśnie tu uczniowie najczęściej się łapią, bo patrzą na trójkąt i automatycznie wpisują tg, bez sprawdzenia, od której osi mierzony jest kąt. Druga sprawa to znak przy wysokości instrumentu $i$. Instrument stoi na punkcie S, a oś celowa tachimetru lub teodolitu jest ponad tym punktem. To znaczy, że do wysokości stanowiska $H_S$ należy dodać $i$, a nie odejmować. Odjęcie wysokości instrumentu oznaczałoby, że oś obserwacji znajduje się poniżej punktu stanowiska, co w normalnym ustawieniu sprzętu nie ma sensu. Błędne wzory z minusem przy $i$ wynikają zwykle z mylenia wysokości instrumentu z wysokością sygnału albo łaty na punkcie mierzonym. W pomiarach wysokościowych trzeba te elementy bardzo pilnować: wysokość instrumentu dodajemy do wysokości stanowiska, wysokość celu na mierzonym punkcie zwykle odejmujemy, jeśli występuje w zadaniu. Tutaj jednak wysokość celu nie jest podana, więc jej nie wprowadzamy na siłę. Poprawne rozumowanie powinno więc prowadzić do osi celowej $H_S + i$, a następnie do dodania składnika trygonometrycznego z cotangensem kąta zenitalnego. To jest zgodne z praktyką obliczeń tachimetrycznych i z dobrą zasadą kontroli szkicu pomiarowego przed podstawieniem liczb do wzoru.