Ile wynosi długość stycznej T łuku kołowego, będącego elementem trasy drogowej, jeżeli promień tego łuku wynosi R = 200,00 m, kąt zwrotu stycznych α = 70g, a tg 35g = 0,61280?
Długość stycznej łuku kołowego w trasowaniu drogi oblicza się ze wzoru $T=R\cdot\tan\frac{\alpha}{2}$. Chodzi o odcinek od wierzchołka załamania trasy do początku albo końca łuku, czyli do punktów styczności. W zadaniu promień wynosi 200,00 m, a kąt zwrotu stycznych α = 70ᵍ, więc do wzoru podstawiamy połowę kąta: 35ᵍ. Podano od razu tg 35ᵍ = 0,61280, więc rachunek jest prosty: 200,00 × 0,61280 = 122,56 m. Dlatego poprawna jest wartość 122,56 m. W praktyce drogowej taki wymiar jest bardzo ważny przy tyczeniu osi trasy, bo od wierzchołka załamania można odłożyć styczne i wyznaczyć początek oraz koniec łuku. Moim zdaniem to jeden z tych wzorów, które warto znać na pamięć, bo często pojawia się przy łukach poziomych, zarówno w obliczeniach projektowych, jak i przy kontroli dokumentacji tyczenia. Dobra praktyka to zawsze sprawdzić, czy kąt jest w stopniach, gradach czy radianach, bo pomyłka jednostki kąta potrafi kompletnie zepsuć wynik.
W tym zadaniu kluczowe jest zrozumienie, czym właściwie jest styczna T łuku kołowego. Nie jest to długość łuku, nie jest to cięciwa i nie jest to też jakiś odcinek liczony po okręgu. Styczna T to odległość od wierzchołka załamania trasy do punktu styczności łuku z prostą. Dlatego używa się zależności $T=R\cdot\tan\frac{\alpha}{2}$, a nie wzorów na długość łuku czy cięciwy. Przy α = 70ᵍ należy wziąć połowę kąta, czyli 35ᵍ, bo geometria łuku kołowego opiera się tu na trójkącie prostokątnym utworzonym przez promień i styczną. Podana wartość tg 35ᵍ = 0,61280 prowadzi do wyniku 122,56 m. Wyniki takie jak 222,56 m mogą sugerować sztuczne dodanie 100 m albo pomieszanie długości stycznej z innym elementem trasy, na przykład z odległością od wierzchołka powiększoną o dodatkowy zapas. Wartość 326,37 m wygląda na efekt użycia złej funkcji trygonometrycznej, złego kąta albo potraktowania pełnego kąta zwrotu w miejscu, gdzie trzeba użyć połowy. Z kolei 126,37 m jest blisko poprawnego wyniku, ale taka różnica zwykle wynika z użycia niewłaściwych tablic trygonometrycznych, pomylenia gradów ze stopniami albo zbyt swobodnego zaokrąglania. W geodezji i drogownictwie takie pozornie małe pomyłki są groźne, bo przy tyczeniu osi drogi przesuwają początek i koniec łuku w terenie. Z mojego doświadczenia najlepiej najpierw rozpisać dane, potem zapisać wzór, sprawdzić jednostkę kąta, a dopiero na końcu liczyć. To nudne, ale działa.