Który zapis w systemie binarnym odpowiada liczbie 111 zapisanej w systemie dziesiętnym?
A. 1101111
B. 1111111
C. 1111110
D. 1110111
Pytanie z egzaminu CKE, październik 2013 (arkusz E.12-X-13.10).
Liczba 111₁₀ w systemie binarnym ma postać 1101111₂. Wynika to z zapisu pozycyjnego, czyli z rozłożenia liczby na potęgi dwójki. Dla 7 bitów sprawdzamy wagi: 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Liczba 111 składa się z 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1, a nie zawiera składnika 16. Dlatego bity ustawiamy tak: 1 dla 64, 1 dla 32, 0 dla 16, 1 dla 8, 1 dla 4, 1 dla 2 i 1 dla 1. Otrzymujemy 1101111₂. Moim zdaniem to jeden z tych przykładów, gdzie najlepiej działa spokojne rozpisanie wag, bo wtedy prawie nie da się pomylić. W praktyce informatycznej taki zapis spotkasz np. przy analizie bajtów, kodów znaków, masek bitowych, adresacji czy niskopoziomowej diagnostyce danych. Warto też stosować dobrą praktykę oznaczania podstawy systemu, np. 111₁₀ i 1101111₂, bo sama liczba 111 bez indeksu może znaczyć coś zupełnie innego. Gdyby zapisać tę wartość jako pełny bajt, dopisalibyśmy zero z lewej strony: 01101111₂. Ciekawostka praktyczna: w kodowaniu ASCII wartość dziesiętna 111 odpowiada literze o, właśnie jako bajt 01101111.
Przy konwersji liczby dziesiętnej na binarną łatwo wpaść w pułapkę patrzenia tylko na podobieństwo cyfr. W systemie binarnym nie chodzi o to, żeby zapis wyglądał podobnie do liczby dziesiętnej, tylko o sumę odpowiednich potęg liczby 2. Każda pozycja bitu ma swoją wagę: od prawej strony są to 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 i tak dalej. Dlatego zapis trzeba zawsze sprawdzić przez zsumowanie wag tam, gdzie występuje bit 1.
Zapis 1110111₂ daje wartość 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 119, bo zawiera wagę 16, a nie zawiera wagi 8. To już jest inna liczba, choć wizualnie różni się tylko jednym bitem. Zapis 1111110₂ to 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 126, czyli brakuje jedynki na najmłodszej pozycji, ale za to jest ustawiona szesnastka. Zapis 1111111₂ oznacza 127, bo wszystkie siedem bitów ma wartość 1, czyli suma 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1. Z mojego doświadczenia najczęstszy błąd polega na tym, że ktoś zapamiętuje kształt zapisu, zamiast policzyć wagi bitów. Dobra praktyka jest prosta: podpisz sobie potęgi dwójki nad bitami i sumuj tylko te kolumny, w których stoi 1. To samo podejście przydaje się potem przy maskach podsieci, uprawnieniach bitowych, analizie danych w pamięci i debugowaniu protokołów, więc warto mieć ten nawyk dobrze wyćwiczony.
Zapis 1110111₂ daje wartość 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 119, bo zawiera wagę 16, a nie zawiera wagi 8. To już jest inna liczba, choć wizualnie różni się tylko jednym bitem. Zapis 1111110₂ to 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 126, czyli brakuje jedynki na najmłodszej pozycji, ale za to jest ustawiona szesnastka. Zapis 1111111₂ oznacza 127, bo wszystkie siedem bitów ma wartość 1, czyli suma 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1. Z mojego doświadczenia najczęstszy błąd polega na tym, że ktoś zapamiętuje kształt zapisu, zamiast policzyć wagi bitów. Dobra praktyka jest prosta: podpisz sobie potęgi dwójki nad bitami i sumuj tylko te kolumny, w których stoi 1. To samo podejście przydaje się potem przy maskach podsieci, uprawnieniach bitowych, analizie danych w pamięci i debugowaniu protokołów, więc warto mieć ten nawyk dobrze wyćwiczony.