Proces filtracji sygnału wejściowego w dziedzinie czasu, obejmujący zasadę superpozycji, związany jest z filtrem
A. niezmiennym w czasie.
B. przyczynowym.
C. o skończonej odpowiedzi impulsowej.
D. liniowym.
Pytanie z egzaminu CKE, czerwiec 2014 (arkusz E.14-X-14.05).
Chodzi tu o filtr liniowy, bo zasada superpozycji jest właśnie podstawową cechą liniowości układu. W praktyce oznacza to, że jeśli na wejście filtru podamy sumę kilku sygnałów, to odpowiedź filtru będzie sumą odpowiedzi na każdy z tych sygnałów osobno. Dodatkowo, gdy zwiększymy amplitudę sygnału wejściowego np. 3 razy, to sygnał wyjściowy też powinien zwiększyć się 3 razy. Formalnie zapisuje się to często jako $T\{a\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\}=a\cdot T\{x_1(t)\}+b\cdot T\{x_2(t)\}$. To jest bardzo ważne w analizie sygnałów audio, telekomunikacji, automatyce czy przetwarzaniu obrazów, bo pozwala rozkładać złożony sygnał na prostsze składowe i analizować je oddzielnie. Moim zdaniem to jedna z najbardziej praktycznych własności filtrów, bo dzięki niej można przewidywać zachowanie układu bez testowania każdej możliwej kombinacji sygnałów. W dobrych praktykach inżynierskich często rozróżnia się filtr liniowy, przyczynowy i niezmienny w czasie, bo te pojęcia opisują różne cechy układu, nawet jeśli czasem występują razem jako filtr LTI.
W tym pytaniu łatwo pomylić kilka pojęć, bo w teorii sygnałów często występują one obok siebie, szczególnie przy omawianiu filtrów LTI, czyli liniowych i niezmiennych w czasie. Sama zasada superpozycji nie mówi jednak o przyczynowości, niezmienności w czasie ani o długości odpowiedzi impulsowej. Przyczynowość oznacza, że wyjście filtru w danej chwili zależy tylko od obecnych i wcześniejszych wartości sygnału wejściowego, a nie od przyszłości. To jest ważne w systemach działających na żywo, np. w filtracji dźwięku z mikrofonu, ale nie definiuje liniowości. Filtr może być przyczynowy i nieliniowy, na przykład gdy ogranicza amplitudę sygnału przez obcinanie szczytów. Niezmienność w czasie oznacza, że przesunięcie sygnału wejściowego w czasie powoduje takie samo przesunięcie sygnału wyjściowego. To też jest inna własność: filtr może być niezmienny w czasie, ale nadal nie spełniać superpozycji. Z kolei skończona odpowiedź impulsowa, czyli FIR, opisuje długość reakcji filtru na impuls. Wiele filtrów FIR jest liniowych, ale sama nazwa FIR nie jest definicją zasady superpozycji. Typowy błąd myślowy polega na tym, że ktoś kojarzy filtrację w dziedzinie czasu z konkretnym typem implementacji, zamiast zapytać, która własność matematyczna odpowiada dodawaniu i skalowaniu sygnałów. Tutaj tym kluczowym słowem jest liniowość.