Największa wartość siły F, wyznaczona z warunku równowagi, dla której ciało pozostaje w spoczynku wynosi
W tym zadaniu kluczowe jest poprawne rozłożenie siły $F$ na składowe. Siła działa pod kątem $\alpha$, więc poziomo ciągnie ciało wartością $F\cos\alpha$, a pionowo odciąża je wartością $F\sin\alpha$. Ponieważ składowa pionowa jest skierowana do góry, nacisk na podłoże maleje: $N = G - F\sin\alpha$. To jest bardzo ważny moment, bo siła tarcia granicznego zależy właśnie od nacisku: $T_{max}=\mu N$. Dla największej siły, przy której ciało jeszcze nie rusza, tarcie osiąga wartość graniczną, więc zapisujemy równowagę poziomą: $F\cos\alpha = \mu(G - F\sin\alpha)$. Po uporządkowaniu wychodzi $F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)=G\mu$, czyli $F = \frac{G\mu}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}$. Moim zdaniem to jedno z tych zadań, gdzie znak przy składniku $\mu\sin\alpha$ robi całą robotę. W praktyce tak analizuje się np. przesuwanie skrzyń, elementów maszyn po prowadnicach albo dobór siły w uchwytach transportowych. W dobrej praktyce technicznej, zgodnej z podejściem znanym z mechaniki technicznej i zasad bezpieczeństwa maszyn, zawsze trzeba sprawdzić kierunki sił, reakcję normalną i warunek tarcia granicznego, a nie podstawiać wzór „z pamięci”.
W tym przykładzie łatwo pomylić się przez znak składowej pionowej siły albo przez potraktowanie tarcia jak stałej siły niezależnej od nacisku. Siła $F$ nie działa poziomo, tylko pod kątem $\alpha$, więc trzeba ją rozłożyć na $F\cos\alpha$ oraz $F\sin\alpha$. Składowa pionowa jest skierowana do góry, czyli zmniejsza nacisk ciała na podłoże. Dlatego reakcja normalna wynosi $N = G - F\sin\alpha$, a nie $G + F\sin\alpha$. To od razu wpływa na tarcie graniczne $T_{max}=\mu N$. Jeżeli w mianowniku pojawia się $\cos\alpha - \mu\sin\alpha$, to zwykle oznacza, że ktoś przyjął sytuację jak przy dociskaniu ciała do podłoża, a tutaj jest odwrotnie: siła częściowo „podnosi” ciało i zmniejsza tarcie. Z kolei wzory w postaci $G(\cos\alpha \pm \mu\sin\alpha)$ omijają podstawowy warunek równowagi poziomej $F\cos\alpha = T$ oraz zależność tarcia od nacisku. Widać to nawet intuicyjnie: gdyby $\mu=0$, czyli podłoże byłoby idealnie gładkie, największa siła utrzymująca spoczynek powinna wyjść równa zero. We wzorach mnożonych przez $G$ tak się nie dzieje, więc wynik fizycznie nie ma sensu. Z mojego doświadczenia najlepsza metoda to najpierw narysować wszystkie siły, potem zapisać równania równowagi w osi poziomej i pionowej, a dopiero na końcu przekształcać wzory. Tak robi się też w praktyce przy analizie stabilności elementów, przesuwaniu ładunków i ocenie bezpieczeństwa pracy z maszynami.