Zgodnie z twierdzeniem Nyquista częstotliwość próbkowania sygnału analogowego o szerokości pasma 3,4 kHz, powinna wynosić co najmniej
A. 1,7 kHz
B. 3,4 kHz
C. 5,1 kHz
D. 6,8 kHz
Pytanie z egzaminu CKE, czerwiec 2014 (arkusz E.02-X-14.05).
Twierdzenie Nyquista mówi, że aby poprawnie odtworzyć sygnał analogowy po próbkowaniu, częstotliwość próbkowania musi być co najmniej dwa razy większa od najwyższej częstotliwości występującej w sygnale. Można to zapisać jako $f_s ≥ 2 · B$, gdzie $B$ to szerokość pasma sygnału. Dla pasma 3,4 kHz otrzymujemy $f_s ≥ 2 · 3,4\text{ kHz} = 6,8\text{ kHz}$. Dlatego minimalna poprawna wartość to 6,8 kHz. W praktyce często stosuje się jeszcze pewien zapas oraz filtry antyaliasingowe, bo idealne odcięcie pasma nie istnieje. Dobrym przykładem jest telefonia cyfrowa PCM: sygnał mowy w klasycznym kanale telefonicznym jest ograniczany mniej więcej do pasma 300 Hz - 3400 Hz, a potem próbkowany zwykle z częstotliwością 8 kHz. To jest trochę więcej niż wymagane minimum 6,8 kHz, więc system ma margines na działanie filtrów. Moim zdaniem to jedna z tych zasad, które warto zapamiętać praktycznie: próbkujesz za wolno, dostajesz aliasing i sygnał po odtworzeniu może być kompletnie przekłamany.
W tym zadaniu łatwo pomylić szerokość pasma z częstotliwością próbkowania. Samo 3,4 kHz oznacza, że sygnał analogowy zawiera składowe częstotliwościowe do około 3,4 kHz, ale to nie wystarcza, żeby go poprawnie zapisać w postaci próbek. Twierdzenie Nyquista-Shannona wymaga, żeby próbkowanie odbywało się z częstotliwością co najmniej dwukrotnie większą od najwyższej częstotliwości sygnału, czyli $f_s ≥ 2 · f_{max}$. Dla 3,4 kHz daje to 6,8 kHz. Wartość 1,7 kHz wynikałaby z podzielenia pasma przez dwa, czyli z odwrócenia zasady Nyquista. Takie próbkowanie byłoby zdecydowanie zbyt wolne i spowodowałoby silny aliasing, czyli nakładanie się widm. Sygnał po rekonstrukcji nie przypominałby oryginału, szczególnie w wyższych częstotliwościach mowy. Wartość 3,4 kHz też nie spełnia warunku, bo próbkowanie z częstotliwością równą granicy pasma nie daje informacji potrzebnej do wiernego odtworzenia przebiegu. W praktyce próbki pojawiałyby się za rzadko. 5,1 kHz jest już bliżej, ale nadal za mało, bo to tylko półtora raza szerokości pasma, a nie dwa razy. Z mojego doświadczenia najlepiej pamiętać prostą regułę: najpierw znajdujesz najwyższą częstotliwość sygnału, a potem mnożysz ją przez 2. Dopiero wynik porównujesz z odpowiedziami. W systemach telekomunikacyjnych, np. przy kodowaniu PCM kanału telefonicznego, stosuje się nawet 8 kHz, właśnie po to, żeby zachować bezpieczny zapas i umożliwić poprawne działanie filtrów ograniczających pasmo.