Ile wynosi prędkość liniowa końcówek łopat elektrowni wiatrowej, jeśli promień okręgu zataczanego przez nie jest równy 50 m, a ich prędkość obrotowa wynosi 15 obr/min?
A. 750 m/s
B. 78,5 m/s
C. 75 m/s
D. 125 m/s
Opracowane na podstawie zadania CKE, czerwiec 2023 (arkusz B.22-SG-23.06): Klucz CKE (12,5 m/s) pomija 2π: v = 2π·r·n = 2π·50 m·0,25 obr/s ≈ 78,5 m/s. Poprawna wartość wpisana w miejsce błędnej.
Wynik 78,5 m/s wynika z tego, że końcówka łopaty porusza się po okręgu, więc trzeba policzyć prędkość liniową ruchu obrotowego. Stosujemy zależność $v=2\pi r n$, gdzie r to promień, a n to liczba obrotów na sekundę. Najpierw prędkość obrotową trzeba zamienić z obr/min na obr/s: 15 obr/min = 15 / 60 = 0,25 obr/s. Obwód toru końcówki łopaty wynosi 2 · π · 50 m ≈ 314 m. W czasie jednej sekundy łopata wykonuje 0,25 obrotu, więc końcówka pokonuje około 314 m · 0,25 = 78,5 m. Stąd prędkość liniowa wynosi 78,5 m/s. W praktyce energetyki wiatrowej taka wartość jest bardzo ważna, bo prędkość końcówek łopat wpływa na hałas aerodynamiczny, obciążenia mechaniczne, drgania i bezpieczeństwo pracy turbiny. Z mojego doświadczenia warto zawsze pilnować jednostek, bo obr/min brzmi niewinnie, ale bez przeliczenia na sekundy wynik wychodzi kompletnie nieużyteczny. W dobrych praktykach eksploatacyjnych parametry wirnika porównuje się z dokumentacją producenta, charakterystyką turbiny i dopuszczalnym współczynnikiem szybkobieżności, żeby nie przeciążać łopat, piasty i przekładni.
W tym zadaniu najłatwiej pomylić prędkość obrotową z liniową. Prędkość obrotowa mówi, ile pełnych obrotów wykonuje wirnik w danym czasie, natomiast prędkość liniowa końcówki łopaty mówi, jak szybko konkretny punkt na końcu łopaty przesuwa się po okręgu. Dlatego nie wystarczy pomnożyć 50 m przez 15 obr/min ani traktować promienia jak drogi przebytej w jednym obrocie. Droga w jednym pełnym obrocie to obwód okręgu, czyli 2 · π · r, a nie sam promień.
Wartość 75 m/s jest bliska poprawnej, ale zwykle bierze się z przybliżenia π do 3. W obliczeniach technicznych czasem robi się szybkie szacunki, jasne, ale w teście i w dokumentacji serwisowej lepiej przyjmować π ≈ 3,14, bo różnica może mieć znaczenie przy ocenie obciążeń łopat czy hałasu turbiny. Wynik 125 m/s wskazuje raczej na pomieszanie wzoru albo przeliczenia jednostek, na przykład użycie niepełnego obwodu lub błędne przesunięcie przecinka. Z kolei 750 m/s to typowy efekt pomnożenia 50 przez 15 bez zamiany minut na sekundy i bez uwzględnienia obwodu toru ruchu. Co więcej, 750 m/s byłoby prędkością skrajnie dużą, ponad dwukrotnie większą od prędkości dźwięku, więc dla zwykłej turbiny wiatrowej jest to fizycznie bardzo podejrzane. Moim zdaniem dobry nawyk jest taki: najpierw rysujemy okrąg ruchu końcówki łopaty, potem liczymy obwód, a na końcu pilnujemy jednostek czasu. To proste, ale ratuje przed większością błędów w takich zadaniach.
Wartość 75 m/s jest bliska poprawnej, ale zwykle bierze się z przybliżenia π do 3. W obliczeniach technicznych czasem robi się szybkie szacunki, jasne, ale w teście i w dokumentacji serwisowej lepiej przyjmować π ≈ 3,14, bo różnica może mieć znaczenie przy ocenie obciążeń łopat czy hałasu turbiny. Wynik 125 m/s wskazuje raczej na pomieszanie wzoru albo przeliczenia jednostek, na przykład użycie niepełnego obwodu lub błędne przesunięcie przecinka. Z kolei 750 m/s to typowy efekt pomnożenia 50 przez 15 bez zamiany minut na sekundy i bez uwzględnienia obwodu toru ruchu. Co więcej, 750 m/s byłoby prędkością skrajnie dużą, ponad dwukrotnie większą od prędkości dźwięku, więc dla zwykłej turbiny wiatrowej jest to fizycznie bardzo podejrzane. Moim zdaniem dobry nawyk jest taki: najpierw rysujemy okrąg ruchu końcówki łopaty, potem liczymy obwód, a na końcu pilnujemy jednostek czasu. To proste, ale ratuje przed większością błędów w takich zadaniach.